\documentclass[11pt,a4paper,headline,headcount,towside,nocenter]{report}

\usepackage{latexsym} 

%\usepackage{ngerman}

%\grmn@dq@error ...and \dq \string #1 is undefined}

%l.989 ...tch the problem type \\{\tt["squareroot",

%                                                  "univ

\bibliographystyle{alpha}

\def\isac{${\cal I}\mkern-2mu{\cal S}\mkern-5mu{\cal AC}$}

\title{\isac --- Interface for\\

  Developers of Math Knowledge\\[1.0ex]

  and\\[1.0ex]

  Tools for Experiments in\\

  Symbolic Computation\\[1.0ex]}

\author{The \isac-Team\\

  \tt isac-users@ist.tugraz.at\\[1.0ex]}

\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\newpage

\tableofcontents

\newpage

\listoftables

\newpage

\chapter{Einleitung}

\section{``Authoring'' und ``Tutoring''}

{TO DO} Mathematik lernen -- verschiedene Autoren -- Isabelle

Die Grundlage f\"ur \isac{} bildet Isabelle. Dies ist ein ``theorem prover'', der von L. Paulson und T. Nipkow entwickelt wird und Hard- und Software pr\"uft.

\section{Der Inhalt des Dokuments}

\paragraph{TO DO} {Als Anleitung:} Dieses Dokument beschreibt das Kerngebiet (KE) von \isac{}, das Gebiet der mathematics engine (ME) im Kerngebiet und die verschiedenen Funktionen wie das Umschreiben und der Vergleich.

\isac{} und KE wurden in SML geschrieben, die Sprache in Verbindung mit dem Vorg\"anger des Theorem Provers Isabelle entwickelt. So kam es, dass in diesem Dokument die Ebene ASCII als SML Code pr\"asentiert wird. Der Leser wird vermutlich erkennen, dass der \isac{} Benutzer eine vollkommen andere Sichtweise auf eine grafische Benutzeroberfl\"ache bekommt.

Das Dokument ist eigenst\"andig; Basiswissen \"uber SML (für eine Einf\"uhrung siehe \cite{Paulson:91}), Terme und Umschreibung wird vorrausgesetzt.

%The interfaces will be moderately exended during the first phase of development of the mathematics knowledge. The work on the subprojects defined should {\em not} create interfaces of any interest to a user or another author of knowledge except identifiers (of type string) for theorems, rulesets etc.

Hinweis: SML Code, Verzeichnis, Dateien sind {\tt in 'tt' geschrieben}; besonders in {\tt ML>} ist das Kerngebiet schnell.

\paragraph{Versuchen Sie es!}  Ein weiteres Anliegen dieses Textes ist, dem Leser Tipps f\"ur Versuche mit den Anwendungen zu geben.

\section{Gleich am Computer ausprobieren!}\label{get-started}

\paragraph{TO DO screenshot} Bevor Sie mit Ihren Versuchen beginnen, m\"ochten wir Ihnen noch einige Hinweise geben.

\begin{itemize}

 \item System starten

 \item Shell aufmachen und die Datei mat-eng-de.sml \"offnen.

 \item $>$  :  Hinter diesem Zeichen (``Prompt'') stehen jene, die Sie selbst eingeben bzw. mit Copy und Paste aus der Datei kopieren.

 \item Die Eingabe wird mit ``;'' und ``Enter'' abgeschlossen.

 \item Zeilen, die nicht mit Prompt beginnen, werden vom Computer ausgegeben.

\end{itemize}

\part{Experimentelle Ann\"aherung}

\chapter{Terme und Theorien}

Wie bereits erw\"ahnt, geht es um Computer-Mathematik. In den letzten Jahren hat die ``computer science'' grosse Fortschritte darin gemacht, Mathematik auf dem Computer verst\"andlich darzustellen. Dies gilt f\"ur mathematische Formeln, f\"ur die Beschreibung von Problem (behandelt in Abs.\ref{pbl}), f\"ur L\"osungsmethoden (behandelt in Abs.\ref{met}) etc. Wir beginnen mit mathematischen Formeln --- gleich zum Ausprobieren wie in Abs.\ref{get-started} oben vorbereitet.

\section{Von der Formel zum Term}

Um ein Beispiel zu nennen: Die Formel $a+b\cdot 3$ l\"asst sich in lesbarer Form so eingeben:

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > "a + b * 3";

  val it = "a + b * 3" : string

\end{verbatim}}

\noindent ``a + b * 3'' ist also ein String (=Zeichenfolge). In dieser Form weiss der Computer nicht, dass z.B. eine Multiplikation {\em vor} einer Addition zu rechnen ist. Isabelle braucht Formeln in einer anderen Form; Diese kann man mit der Funktion ``str2term'' (= string to term) umrechnen:

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > str2term "a + b * 3";

  val it =

     Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

           Free ("a", "RealDef.real") $

        (Const ("op *", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

           ...) : Term.term

\end{verbatim}}

\noindent Jene Form braucht Isabelle intern zum rechnen. Sie heisst Term und ist nicht lesbar, daf\"ur aber speicherbar mit Hilfe von ``val'' (=value) 

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > val term = str2term "a + b * 3";

  val term =  

     Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

           Free ("a", "RealDef.real") $

        (Const ("op *", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

           ...) : Term.term

\end{verbatim}

Der gespeicherte Term kann einer Funktion ``atomty'' \"ubergeben werden, die jenen in einer abstrakten Struktur zeigt:

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > atomty term;

  ***

  *** Const (op +, [real, real] => real)

  *** . Free (a, real)

  *** . Const (op *, [real, real] => real)

  *** . . Free (b, real)

  *** . . Free (3, real)

  ***

  val it = () : unit

\end{verbatim}%size

\section{``Theory'' und ``Parsing``}

Die theory gibt an, welcher Ausdruck wo steht. Eine derzeitige theory wird intern als \texttt{thy} gekennzeichnet. Jene theory, die alles Wissen ent\"ahlt ist \isac{}. 

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > Isac.thy;

       val it =

          {ProtoPure, CPure, HOL, Set, Typedef, Fun, Product_Type, Lfp, Gfp,

          Sum_Type, Relation, Record, Inductive, Transitive_Closure,

          Wellfounded_Recursion, NatDef, Nat, NatArith, Divides, Power,

          SetInterval, Finite_Set, Equiv, IntDef, Int, Datatype_Universe,

          Datatype, Numeral, Bin, IntArith, Wellfounded_Relations, Recdef, IntDiv,

          IntPower, NatBin, NatSimprocs, Relation_Power, PreList, List, Map,

          Hilbert_Choice, Main, Lubs, PNat, PRat, PReal, RealDef, RealOrd,

          RealInt, RealBin, RealArith0, RealArith, RComplete, RealAbs, RealPow,

          Ring_and_Field, Complex_Numbers, Real, ListG, Tools, Script, Typefix,

          Float, ComplexI, Descript, Atools, Simplify, Poly, Rational, PolyMinus,

          Equation, LinEq, Root, RootEq, RatEq, RootRat, RootRatEq, PolyEq, Vect,

          Calculus, Trig, LogExp, Diff, DiffApp, Integrate, EqSystem, Biegelinie,

          AlgEin, Test, Isac} : Theory.theory

\end{verbatim}

Die, die ein Mal enth\"alt ist groups.thy. Suchen Sie nach '*' unter der Adresse:

http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/Isabelle/dist/library/HOL/Groups.html

Hier wird Ihnen erkl\"art, wie das Mal vom Computer gelesen wird.

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > Group.thy

      fixes f :: "'a => 'a => 'a" (infixl "*" 70)

      assumes assoc [ac_simps]: "a * b * c = a * (b * c)"

\end{verbatim}

Der ''infix`` ist der Operator, der zwischen zwei Argumenten steht. 70 bedeutet, dass Mal eine hohe Priorit\"at hat (bei einem Plus liegt der Wert bei 50 oder 60). 

Parsing entsteht durch einen string und eine theory. Es verwendet Informationen, die in der theory von Isabelle enthalten sind.

{\footnotesize\begin{verbatim}

  > parse;

       val it = fn : Theory.theory -> string -> Thm.cterm Library.option

\end{verbatim}

Dieser term kann wieder in seine einzelnen Teile zerlegt werden.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val it = (term_of o the) it;

        val it =

           Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

               Free ("a", "RealDef.real") $

           (Const ("op *", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

               ...) : Term.term

\end{verbatim}

\paragraph{Versuchen Sie es!} Das mathematische Wissen w\"achst, indem man zu den Urspr\"ungen schaut. In den folgenden Beispielen werden verschiedene Meldungen genauer erkl\"art.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-1-*);

   > parse HOL.thy "2^^^3";

      *** Inner lexical error at: "^^^3"

      val it = None : Thm.cterm Library.option         

\end{verbatim}

''Inner lexical error`` bedeutet, dass ein Fehler aufgetreten ist, vermutlich hat man sich vertippt.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-2-*);

   > parse HOL.thy "d_d x (a + x)";

      val it = None : Thm.cterm Library.option               

\end{verbatim}

Fehlt ''Inner lexical error`` wurde der Parse nicht gefunden.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-3-*);

   > parse Rational.thy "2^^^3";

      val it = Some "2 ^^^ 3" : Thm.cterm Library.option               

\end{verbatim}

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-4-*);

   > val Some t4 = parse Rational.thy "d_d x (a + x)";

      val t4 = "d_d x (a + x)" : Thm.cterm              

\end{verbatim}

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-5-*);

   > val Some t5 = parse Diff.thy  "d_d x (a + x)";

      val t5 = "d_d x (a + x)" : Thm.cterm             

\end{verbatim}

Der Pase liefert hier einen ''zu sch\"onen`` Ausdruck in Form eines cterms, der wie ein string aussieht. Am verl\"asslichsten sind terme, die sich selbst erzeugen lassen.

\section{Details von Termen}

Mit Hilfe der darunterliegenden Darstellung sieht man, dass ein cterm in einen term umgewandelt werden kann.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > term_of;

      val it = fn : Thm.cterm -> Term.term

\end{verbatim}

Durch die Umwandlung eines cterms in einen term sieht man die einzelnen Teile des Terms. ''Free`` bedeutet, dass man die Variable \"andern kann.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > term_of t4;

      val it =

         Free ("d_d", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

         ...: Term.term

\end{verbatim}

In diesem Fall sagt uns das ''Const``, dass die Variable eine Konstante ist, also ein Fixwert ist und immer die selbe Funktion hat.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > term_of t5;

      val it =

         Const ("Diff.d_d", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

         ... : Term.term

\end{verbatim}

Sollten verschiedene Teile des Output nicht sichtbar sein, kann die Schriftgr\"osse ge\"andert werden.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > print_depth;

      val it = fn : int -> unit

 \end{verbatim}

Zuerst gibt man die Schriftgr\"osse ein, danach den term, der gr\"osser werden soll.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > print_depth 10;

      val it = () : unit

   > term_of t4;

         val it =

            Free ("d_d", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

                Free ("x", "RealDef.real") $

            (Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

                Free ("a", "RealDef.real") $ Free ("x", "RealDef.real"))

         : Term.term

   > print_depth 10;

         val it = () : unit

   > term_of t5;

         val it =

            Const ("Diff.d_d", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

                Free ("x", "RealDef.real") $

            (Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

                Free ("a", "RealDef.real") $ Free ("x", "RealDef.real"))

         : Term.term

\end{verbatim}

Eine andere Variante um den Unterschied der beiden Terme zu sehen ist folgende: 

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > (*-4-*) val thy = Rational.thy;

      val thy =

         {ProtoPure, CPure, HOL, Set, Typedef, Fun, Product_Type, Lfp, Gfp,

         Sum_Type, Relation, Record, Inductive, Transitive_Closure,

         Wellfounded_Recursion, NatDef, Nat, NatArith, Divides, Power,

         SetInterval, Finite_Set, Equiv, IntDef, Int, Datatype_Universe,

         Datatype, Numeral, Bin, IntArith, Wellfounded_Relations, Recdef, IntDiv,

         IntPower, NatBin, NatSimprocs, Relation_Power, PreList, List, Map,

         Hilbert_Choice, Main, Lubs, PNat, PRat, PReal, RealDef, RealOrd,

         RealInt, RealBin, RealArith0, RealArith, RComplete, RealAbs, RealPow,

         Ring_and_Field, Complex_Numbers, Real, ListG, Tools, Script, Typefix,

         Float, ComplexI, Descript, Atools, Simplify, Poly, Rational}

     : Theory.theory

   > ((atomty) o term_of o the o (parse thy)) "d_d x (a + x)";

      ***

      *** Free (d_d, [real, real] => real)

      *** . Free (x, real)

      *** . Const (op +, [real, real] => real)

      *** . . Free (a, real)

      *** . . Free (x, real)

      ***

      val it = () : unit

   > (*-5-*) val thy = Diff.thy;

      val thy =

         {ProtoPure, CPure, HOL, Set, Typedef, Fun, Product_Type, Lfp, Gfp,

         Sum_Type, Relation, Record, Inductive, Transitive_Closure,

         Wellfounded_Recursion, NatDef, Nat, NatArith, Divides, Power,

         SetInterval, Finite_Set, Equiv, IntDef, Int, Datatype_Universe,

         Datatype, Numeral, Bin, IntArith, Wellfounded_Relations, Recdef, IntDiv,

         IntPower, NatBin, NatSimprocs, Relation_Power, PreList, List, Map,

         Hilbert_Choice, Main, Lubs, PNat, PRat, PReal, RealDef, RealOrd,

         RealInt, RealBin, RealArith0, RealArith, RComplete, RealAbs, RealPow,

         Ring_and_Field, Complex_Numbers, Real, Calculus, Trig, ListG, Tools,

         Script, Typefix, Float, ComplexI, Descript, Atools, Simplify, Poly,

         Equation, LinEq, Root, RootEq, Rational, RatEq, RootRat, RootRatEq,

         PolyEq, LogExp, Diff} : Theory.theory

   > ((atomty) o term_of o the o (parse thy)) "d_d x (a + x)";

      ***

      *** Const (Diff.d_d, [real, real] => real)

      *** . Free (x, real)

      *** . Const (op +, [real, real] => real)

      *** . . Free (a, real)

      *** . . Free (x, real)

      ***

      val it = () : unit

\end{verbatim}

{\chapter{''Rewriting``}}

{\section{}}

Bei Rewriting handelt es sich um die Vereinfachung eines Terms in vielen kleinen Schritten und nach bestimmten Regeln. Der Computer wendet dabei hintereinander verschiedene Rechengesetze an, weil er den Term ansonsten nicht l\"osen kann.

{\footnotesize\begin{verbatim}

> rewrite_;

val it = fn

:

   Theory.theory ->

   ((Term.term * Term.term) list -> Term.term * Term.term -> bool) ->

   rls ->

   bool ->

   Thm.thm -> Term.term -> (Term.term * Term.term list) Library.option

> rewrite;

val it = fn

:

   theory' ->

   rew_ord' ->

   rls' -> bool -> thm' -> cterm' -> (string * string list) Library.option

\end{verbatim}

\textbf{Versuchen Sie es!} Um zu sehen, wie der Computer vorgeht und welche Rechengesetze er anwendet, zeigen wir Ihnen durch Differenzieren von (a + a * (2 + b)), die einzelnen Schritte. Sie k\"onnen nat\"urlichauch selbst einige Beispiele ausprobieren!

Zuerst legt man fest, dass es sich um eine Differenzierung handelt.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val thy' = "Diff.thy";

      val thy' = "Diff.thy" : string

\end{verbatim}

Dann gibt man die zu l\"osende Rechnung ein.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val ct = "d_d x (a + a * (2 + b))";

      val ct = "d_d x (a + a * (2 + b))" : string

\end{verbatim}

Anschließend gibt man bekannt, dass die Summenregel angewandt werden soll.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val thm = ("diff_sum","");

      val thm = ("diff_sum", "") : string * string

\end{verbatim}

Schliesslich wird die erste Ableitung angezeigt.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val Some (ct,_) = rewrite_inst thy' "tless_true" "eval_rls" true

                        [("bdv","x::real")] thm ct;#

      val ct = "d_d x a + d_d x (a * (2 + b))" : cterm'

\end{verbatim}

Will man auch die zweite Ableitung sehen, geht man so vor:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val thm = ("diff_prod_const","");

      val thm = ("diff_prod_const", "") : string * string

\end{verbatim} 

Auch die zweite Ableitung wird sichtbar.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   > val Some (ct,_) = rewrite_inst thy' "tless_true" "eval_rls" true

                        [("bdv","x::real")] thm ct;#

      val ct = "d_d x a + a * d_d x (2 + b)" : cterm'

\end{verbatim}

\newpage

------------------------------- ALTER TEXT -------------------------------

Ein Term ist eine Zeichenfolge. Das heisst Es gibt zwei Arten von Termen in Isabelle, 'raw terms' und 'certified terms'. \isac{} arbeitet mit raw terms, die effizient sind. 

{\footnotesize\begin{verbatim}

   datatype term = 

       Const of string * typ

     | Free  of string * typ 

     | Var   of indexname * typ

     | Bound of int

     | Abs   of string * typ * term

     | op $  of term * term;

   datatype typ = Type  of string * typ list

                | TFree of string * sort

                | TVar  of indexname * sort;

\end{verbatim}}%size % $

Die Definition und der Indexname sind in diesem Zusammenhang nicht relevant. Der {\tt typ}e wird w\"ahrend der Parse angedeutet. Diese ist der Hauptbestandteil f\"ur andere Terms, {\tt cterm}. Sie {\tt cterm}s sind zusammengefasste Aufzeichnungen, die ohne die jeweiligen Isabelle-Funktionen nicht zusammengesetzt werden k\"onnen (type--Richtigkeit \"Uberpr\"ufen), aber dann g\"unstig als string dargestellt werden (Verwendung von SML Compiler Internals -- siehe unten).

\section{Theorien und Terme}

Die Parse verwendet Informationen, die in der Theorie von Isabelle $\sim${\tt /src/HOL}enthalten sind. Die derzeitige Theorie wird international als {\tt thy} gekennzeichnet; auf diese kann unterschiedlich zugegriffen werden.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> thy;

   val it =

   {ProtoPure, CPure, HOL, Set, Typedef, Fun, Product_Type, Lfp, Gfp,

     Sum_Type, Relation, Record, Inductive, Transitive_Closure,

     Wellfounded_Recursion, NatDef, Nat, NatArith, Divides, Power,

     SetInterval, Finite_Set, Equiv, IntDef, Int, Datatype_Universe,

     Datatype, Numeral, Bin, IntArith, Wellfounded_Relations, Recdef, IntDiv,

     IntPower, NatBin, NatSimprocs, Relation_Power, PreList, List, Map,

     Hilbert_Choice, Main, Lubs, PNat, PRat, PReal, RealDef, RealOrd,

     RealInt, RealBin, RealArith0, RealArith, RComplete, RealAbs, RealPow,

     Ring_and_Field, Complex_Numbers, Real, ListG, Tools, Script, Typefix,

     Float, ComplexI, Descript, Atools, Simplify, Poly, Rational, PolyMinus,

     Equation, LinEq, Root, RootEq, RatEq, RootRat, RootRatEq, PolyEq, Vect,

     Calculus, Trig, LogExp, Diff, DiffApp, Integrate, EqSystem, Biegelinie,

     AlgEin, Test, Isac} : Theory.theory                                           

   ML> HOL.thy;

   val it = {ProtoPure, CPure, HOL} : Theory.theory 

   ML>

   ML> parse;

   val it = fn : Theory.theory -> string -> Thm.cterm Library.option

   ML> parse thy "a + b * 3";

   val it = Some "a + b * 3" : Thm.cterm Library.option

   ML>

   ML> val t = (term_of o the) it;

  val t =

   Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

         Free ("a", "RealDef.real") $

      (Const ("op *", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

         ...) : Term.term

\end{verbatim}}%size

Die Ausdr\"ucke {\tt term\_of} und {\tt the} werden weiter unten erkl\"art. Den Syntax aus der Liste der Funktionen kann man aus den Theorien von Isabelle \cite{Isa-obj} {\tt [isabelle]/src/HOL/}\footnote{Oder Sie schauen ins Internet unter {\tt [isabelle]/browser\_info}.} und aus den entwickelten Theorien von \isac{} unter {\tt [isac-src]/knowledge/} herauslesen. Beachten Sie, dass der Syntax von diesem Ausdruck anders ist, als jene die bei \isac vom Vorrechner nach der Umrechnung zu MathML angezeigt werden.

\section{Anzeigen von Termen}

Die Drucktiefe auf der höchsten Ebene des SML kann in Ordnung gebracht werden, um den output in der Menge des gewünschten Details zu erzeugen:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> Compiler.Control.Print.printDepth;

   val it = ref 4 : int ref

   ML>

   ML> Compiler.Control.Print.printDepth:= 2;

   val it = () : unit

   ML> t;

   val it =

   Const ("op +", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

         Free ("a", "RealDef.real") $

      (Const ("op *", "[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $ ... $

         ...) : Term.term

   ML>

   ML> Compiler.Control.Print.printDepth:= 6;

   val it = () : unit

   ML> t;

   val it =

     Const ("op +","[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

     Free ("a","RealDef.real") $

     (Const ("op *","[RealDef.real, RealDef.real] => RealDef.real") $

      Free ("b","RealDef.real") $ Free ("#3","RealDef.real")) : term

\end{verbatim}}%size % $

Ein n\"aherer Blick zum letzten output zeigt, dass {\tt typ} wie der string {\tt cterm} ausgegeben worden ist. Andere n\"utzliche Einstellungen für den output sind:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> Compiler.Control.Print.printLength;

   val it = ref 8 : int ref

   ML> Compiler.Control.Print.stringDepth;

   val it = ref 250 : int ref

\end{verbatim}}%size

Die SML der Terme ist nicht lesbar; es gibt Funktionen im KE, um sie zu zeigen:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> atomt;

   val it = fn : Term.term -> string

   ML> atomt t; 

  "*** -------------"

  "*** Const (op +)"

  "*** . Free (a, )"

  "*** . Const (op *)"

  "*** . . Free (b, )"

  "*** . . Free (3, )"

  "\n"

val it = "\n" : string

   ML>

   ML> atomty;

  val it = fn : Term.term -> unit

   ML> atomty thy t;

   *** -------------

   *** Const ( op +, [real, real] => real)

   *** . Free ( a, real)

   *** . Const ( op *, [real, real] => real)

   *** . . Free ( b, real)

   *** . . Free ( #3, real)

   val it = () : unit

\end{verbatim}}%size

{\tt typ} wird als string wiedergegeben. Diesaml aber durch die Informationen von {\tt thy} in besserer Darstellung.

\paragraph{Versuchen Sie es!} {\bf Das mathematische Wissen w\"achst} wie es in Isabelle schrittweise beschrieben ist. Schauen Sie ins Internet um diese Beschreibungen aufzurufen {\tt [isabelle]/src/HOL/HOL.thy} und zu sehen, ob es Kindern auf Ihrem System zur Verf\"ugung steht. Oder Sie sehen sich die verschiedenen Dateien unter {\tt [isabelle]/browser\_info} an.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> (*-1-*) parse HOL.thy "#2^^^#3";

   *** Inner lexical error at: "^^^3"

   val it = None : Thm.cterm Library.option

   ML>

   ML> (*-2-*) parse HOL.thy "d_d x (a + x)";

   val it = None : Thm.cterm Library.option

   ML>

   ML>

   ML> (*-3-*) parse RatArith.thy "#2^^^#3";

   val it = Some "#2 ^^^ #3" : cterm option

   ML>

   ML> (*-4-*) parse RatArith.thy "d_d x (a + x)";

   val it = Some "d_d x (a + x)" : cterm option

   ML>

   ML>

   ML> (*-5-*) parse Differentiate.thy "d_d x (a + x)";

   val it = Some "d_d x (a + x)" : cterm option

   ML>

   ML> (*-6-*) parse Differentiate.thy "#2^^^#3";

   val it = Some "#2 ^^^ #3" : cterm option

\end{verbatim}}%size

Vertrauen sie nicht der string Darstellung: Wenn wir {\tt(*-4-*)} und {\tt(*-6-*)} zu folgenden Ausdr\"ucken umwandel:\dots

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> (*-4-*) val thy = RatArith.thy;

   ML> ((atomty thy) o term_of o the o (parse thy)) "d_d x (a + x)";

   *** -------------

   *** Free ( d_d, [real, real] => real)

   *** . Free ( x, real)

   *** . Const ( op +, [real, real] => real)

   *** . . Free ( a, real)

   *** . . Free ( x, real)

   val it = () : unit

   ML>

   ML> (*-6-*) val thy = Differentiate.thy;

   ML> ((atomty thy) o term_of o the o (parse thy)) "d_d x (a + x)";

   *** -------------

   *** Const ( Differentiate.d_d, [real, real] => real)

   *** . Free ( x, real)

   *** . Const ( op +, [real, real] => real)

   *** . . Free ( a, real)

   *** . . Free ( x, real)

   val it = () : unit

\end{verbatim}}%size

\dots Wir sehen: Bei {\tt(*-4-*)} handelt es sich um eine willk\"urliche Funktion {\tt Free ( d\_d, \_)} und bei {\tt(*-6-*)} um eine spezielle unver\"anderliche Funktion {\tt Const ( Differentiate.d\_d, \_)} für das Differenzieren, welches in {\tt Differentiate.thy} erkl\"art wird und vermutlich gemeint ist.

\section{Terme umwandeln}

Die Umwandlung von {\tt cterm} zu {\tt term} wurde bereits oberhalb gezeigt:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> term_of;

   val it = fn : Thm.cterm -> Term.term

   ML>

   ML> the;

   val it = fn : 'a Library.option -> 'a

   ML>

   ML> val t = (term_of o the o (parse thy)) "a + b * 3";

   val t = Const (#,#) $ Free (#,#) $ (Const # $ Free # $ Free (#,#)) : term

\end{verbatim}}%size

{\tt the} wird dabei von {\tt term option} ausgewickelt --- eine hilfreiche Funktion von Larry Paulsons Grundlagen {\tt [isabelle]/src/Pure/library.ML}, die für jeden SML Programmierer sehr wertvoll ist.

Die anderen Umwandlungen sind folgende, wobei einige {\it signature} {\tt sign} als Theorie verwenden:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> sign_of;

   val it = fn : theory -> Sign.sg

   ML>

   ML> cterm_of;

   val it = fn : Sign.sg -> term -> cterm

   ML> val ct = cterm_of (sign_of thy) t;

   val ct = "a + b * #3" : cterm

   ML>

   ML> Sign.string_of_term;

   val it = fn : Sign.sg -> term -> string

   ML> Sign.string_of_term (sign_of thy) t;

   val it = "a + b * #3" : ctem'

   ML>

   ML> string_of_cterm;

   val it = fn : cterm -> string

   ML> string_of_cterm ct;

   val it = "a + b * #3" : ctem'

\end{verbatim}}%size

\section{Lehrs\"atze}

Theorems sind types, {\tt thm}, gesch\"utzter als {\tt cterms}: Sie sind als axioms beschrieben und haben sich in Isabelle bew\"ahrt. Diese Definitionen und Beweise sind in den Theorien im Verzeichnis {\tt[isac-src]/knowledge/} enthalten, zum Beispiel der Lehrsatz {\tt diff\_sum} in der Theorie {\tt[isac-src]/knowledge/Differentiate.thy}. Zus\"atzlich muss jeder Lehrsatz für \isac{} im zugeh\"origen {\tt *.ML}, wie etwa {\tt diff\_sum} in {\tt[isac-src]/knowledge/Differentiate.ML} aufgenommen werden, wie das Folgende:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> theorem' := overwritel (!theorem',

   [("diff_const",num_str diff_const)

   ]);

\end{verbatim}}%size

The additional recording of theorems and other values will disappear in later versions of \isac.

\chapter{Umschreiben}

\section{Argumente f\"ur Umschreibungen}

Die Bezeichnung des type der Argumente und Werte der Umschreibfunktionen in \ref{rewrite} unterscheiden sich durch ein Apostroph: Die types mit einem Apostroph sind umbenannte strings um die Lesbarkeit aufrecht zu erhalten.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> HOL.thy;

   val it = {ProtoPure, CPure, HOL} : theory

   ML> "HOL.thy" : theory';

   val it = "HOL.thy" : theory'

   ML>

   ML> sqrt_right;

   val it = fn : rew_ord (* term * term -> bool *)

   ML> "sqrt_right" : rew_ord';

   val it = "sqrt_right" : rew_ord'

   ML>

   ML> eval_rls;

   val it =

     Rls

       {preconds=[],rew_ord=("sqrt_right",fn),

        rules=[Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,

               Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Thm #,Calc #,Calc #,...],

        scr=Script (Free #)} : rls

   ML> "eval_rls" : rls';

   val it = "eval_rls" : rls'

   ML>

   ML> diff_sum;

   val it = "d_d ?bdv (?u + ?v) = d_d ?bdv ?u + d_d ?bdv ?v" : thm

   ML> ("diff_sum", "") : thm';

   val it = ("diff_sum","") : thm'

\end{verbatim}}%size

{\tt thm'} ist ein Teil, eventuell mit strin-Darstellung von dem zugeh\"origen Lehrsatz.

\section{Die Funktionen des Umschreibens}\label{rewrite}

Das Umschreiben wird von zwei equvalenten Funktionen begleitet, wobei die erste im KE verwendet wird und sie zweite n\"utzlich für Tests ist: 

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> rewrite_;

   val it = fn

     : theory

       -> rew_ord

          -> rls -> bool -> thm -> term -> (term * term list) option

   ML>

   ML> rewrite;

   val it = fn

     : theory'

       -> rew_ord'

          -> rls' -> bool -> thm' -> cterm' -> (cterm' * cterm' list) option

\end{verbatim}}%size

The arguments are the following:\\

\tabcolsep=4mm

\def\arraystretch{1.5}

\begin{tabular}{lp{11.0cm}}

  {\tt theory}  & the Isabelle theory containing the definitions necessary for parsing the {\tt term} \\

  {\tt rew\_ord}& the rewrite order \cite{nipk:rew-all-that} for ordered rewriting -- see the section \ref{term-order} below. For {\em no} ordered rewriting take {\tt tless\_true}, a dummy order yielding true for all arguments \\

  {\tt rls}     & the rule set for evaluating the condition within {\tt thm} in case {\tt thm} is a conditional rule \\

  {\tt bool}    & a flag which triggers the evaluation of the eventual condition in {\tt thm}: if {\tt false} then evaluate the condition and according to the result of the evaluation apply {\tt thm} or not (conditional rewriting \cite{nipk:rew-all-that}), if {\tt true} then don't evaluate the condition, but put it into the set of assumptions \\

  {\tt thm}     & the theorem used to try to rewrite {\tt term} \\

  {\tt term}    & the term eventually rewritten by {\tt thm} \\

\end{tabular}\\

\noindent The respective values of {\tt rewrite\_} and {\tt rewrite} are an {\tt option} of a pair, i.e. {\tt Some(\_,\_)} in case the {\tt term} can be rewritten by {\tt thm} w.r.t. {\tt rew\_ord} and/or {\tt rls}, or {\tt None} if no rewrite is found:\\

\begin{tabular}{lp{10.4cm}}

  {\tt term}     & the term rewritten \\

  {\tt term list}& the assumptions eventually generated if the {\tt bool} flag is set to {\tt true} and {\tt thm} is applicable. \\

\end{tabular}\\

\paragraph{Give it a try !} {\bf\dots rewriting is fun~!} many examples can be found in {\tt [isac-src]/tests/\dots}. In {\tt [isac-src]/tests/differentiate.sml} the following can be found:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> val thy' = "Differentiate.thy";

   val thy' = "Differentiate.thy" : string

   ML> val ct = "d_d x (x ^^^ #2 + #3 * x + #4)";

   val ct = "d_d x (x ^^^ #2 + #3 * x + #4)" : cterm'

   ML>

   ML> val thm = ("diff_sum","");

   val thm = ("diff_sum","") : thm'

   ML> val Some (ct,_) = rewrite_inst thy' "tless_true" "eval_rls" true

                     [("bdv","x::real")] thm ct;

   val ct = "d_d x (x ^^^ #2 + #3 * x) + d_d x #4" : cterm'

   ML>

   ML> val Some (ct,_) = rewrite_inst thy' "tless_true" "eval_rls" true

                     [("bdv","x::real")] thm ct;

   val ct = "d_d x (x ^^^ #2) + d_d x (#3 * x) + d_d x #4" : cterm'

   ML>

   ML> val thm = ("diff_prod_const","");

   val thm = ("diff_prod_const","") : thm'

   ML> val Some (ct,_) = rewrite_inst thy' "tless_true" "eval_rls" true

                     [("bdv","x::real")] thm ct;

   val ct = "d_d x (x ^^^ #2) + #3 * d_d x x + d_d x #4" : cterm'

\end{verbatim}}%size

Sie k\"onnen unter {\tt [isac-src]/knowledge/Differentiate.thy} die Lehrs\"atze nachschlagen und versuchen Sie, diese anzuwenden bis Sie die Ergebnisse bekommen.

\footnote{Hinweis: Am Ende werden Sie {\tt val (ct,\_) = the (rewrite\_set thy' "eval\_rls" false "SqRoot\_simplify" ct);} benötigen.}

\paragraph{Versuchen Sie es!}\label{cond-rew} {\bf Conditional rewriting} ist eine besser Technik als \"ubliche Umschreibungen und \"ahnelt den Programmiersprachen mehr (siehe n\"achstes 'Versuchen Sie es'~!). Das folgende Beispiel liegt im Bereich der ??poynomial form??:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> val thy' = "Isac.thy";

   val thy' = "Isac.thy" : string

   ML> val ct' = "#3 * a + #2 * (a + #1)";

   val ct' = "#3 * a + #2 * (a + #1)" : cterm'

   ML>

   ML> val thm' = ("radd_mult_distrib2","?k * (?m + ?n) = ?k * ?m + ?k * ?n");

   val thm' = ("radd_mult_distrib2","?k * (?m + ?n) = ?k * ?m + ?k * ?n")

     : thm'

   ML> (*1*) val Some (ct',_) = rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" true thm' ct';

   val ct' = "#3 * a + (#2 * a + #2 * #1)" : cterm'

   ML>

   ML> val thm' = ("radd_assoc_RS_sym","?m1 + (?n1 + ?k1) = ?m1 + ?n1 + ?k1");

   val thm' = ("radd_assoc_RS_sym","?m1 + (?n1 + ?k1) = ?m1 + ?n1 + ?k1")

     : thm'

   ML> (*2*) val Some (ct',_) = rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" true thm' ct';

   val ct' = "#3 * a + #2 * a + #2 * #1" : cterm'

   ML>

   ML> val thm' = ("rcollect_right",

     "[| ?l is_const; ?m is_const |] ==> ?l * ?n + ?m * ?n = (?l + ?m) * ?n");

   val thm' =

     ("rcollect_right",

      "[| ?l is_const; ?m is_const |] ==> ?l * ?n + ?m * ?n = (?l + ?m) * ?n")

     : thm'

   ML> (*3*) val Some (ct',_) = rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" true thm' ct';

   val ct' = "(#3 + #2) * a + #2 * #1" : cterm'

   ML>

   ML> (*4*) val Some (ct',_) = calculate' thy' "plus" ct';

   val ct' = "#5 * a + #2 * #1" : cterm'

   ML>

   ML> (*5*) val Some (ct',_) = calculate' thy' "times" ct';

   val ct' = "#5 * a + #2" : cterm'

\end{verbatim}}%size

Beachten Sie, dass es zwei Regeln gibt {\tt radd\_mult\_distrib2} in {\tt(*1*)} und {\tt rcollect\_right} in {\tt(*3*)}, die einander aufheben, (das heißt, eine angesetzte Regel w\"urde es nicht beenden), wenn es diese Bedinung nicht vorhanden ist {\tt is\_const}.

\paragraph{Versuchen Sie es!} {\bf Funktionelle Programmierung} kann, innerhalb einer bestimmten Reihe, durch das Umschreiben bearbeitet werden. In {\tt [isac-src]/\dots/tests/InsSort.thy} k\"onnen die Regeln gefunden werden, mit denen man eine Liste sortieren kann ('insertion sort'):

{\footnotesize\begin{verbatim}

   sort_def   "sort ls = foldr ins ls []"

   ins_base   "ins [] a = [a]"

   ins_rec    "ins (x#xs) a = (if x < a then x#(ins xs a) else a#(x#xs))"  

   foldr_base "foldr f [] a = a"

   foldr_rec  "foldr f (x#xs) a = foldr f xs (f a x)"

   if_True    "(if True then ?x else ?y) = ?x"

   if_False   "(if False then ?x else ?y) = ?y"

\end{verbatim}}%size

{\tt\#} ist ein Listenersteller, {\tt foldr} ist die bekannte Funktion beim funktionellen Programmieren und {\tt if\_True, if\_False} sind die Hilfsregeln. Dann kann das Sortieren mit den folgenden Umschreibungen durchgef\"uhrt werden.

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML>  val thy' = "InsSort.thy";

   val thy' = "InsSort.thy" : theory'

   ML>  val ct = "sort [#1,#3,#2]" : cterm';

   val ct = "sort [#1,#3,#2]" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("sort_def","");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#1, #3, #2] []" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("foldr_rec","");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#3, #2] (ins [] #1)" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("ins_base","");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#3, #2] [#1]" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("foldr_rec","");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#2] (ins [#1] #3)" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("ins_rec","");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#2] (if #1 < #3 then #1 # ins [] #3 else [#3, #1])"

     : cterm'

   ML>

   ML>  val (ct,_) = the (calculate' thy' "le" ct);

   val ct = "foldr ins [#2] (if True then #1 # ins [] #3 else [#3, #1])" : cterm'

   ML>

   ML>  val thm = ("if_True","(if True then ?x else ?y) = ?x");

   ML>  val (ct,_) = the (rewrite thy' "tless_true" "eval_rls" false thm ct);

   val ct = "foldr ins [#2] (#1 # ins [] #3)" : cterm'

   ML> 

   ...

   val ct = "sort [#1,#3,#2]" : cterm'

\end{verbatim}}%size

\section{Varianten des Umschreibens}

Einige der genannten Beispiele verwendeten schon Methoden von {\tt rewrite}, welche den selben Wert haben und sehr \"ahnliche Argumente verwenden:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> rewrite_inst_;

   val it = fn

     : theory

       -> rew_ord

          -> rls

             -> bool

             -> (cterm' * cterm') list

                   -> thm -> term -> (term * term list) option

   ML> rewrite_inst;

   val it = fn

     : theory'

       -> rew_ord'

          -> rls'

             -> bool

                -> (cterm' * cterm') list

                   -> thm' -> cterm' -> (cterm' * cterm' list) option

   ML>

   ML> rewrite_set_;

   val it = fn 

     : theory -> rls -> bool -> rls -> term -> (term * term list) option

   ML> rewrite_set;

   val it = fn

     : theory' -> rls' -> bool -> rls' -> cterm' -> (cterm' * cterm' list) option

   ML>

   ML> rewrite_set_inst_;

   val it = fn

     : theory

       -> rls

          -> bool

             -> (cterm' * cterm') list

                -> rls -> term -> (term * term list) option

   ML> rewrite_set_inst;

   val it = fn

     : theory'

       -> rls'

          -> bool

             -> (cterm' * cterm') list

                -> rls' -> cterm' -> (cterm' * cterm' list) option

\end{verbatim}}%size

\noindent Die Variante {\tt rewrite\_inst} \"andert {\tt (term * term) list} zu {\tt thm} vor dem Umschreiben,\\

Die Variante {\tt rewrite\_set} umschreibt {\tt rls} mit einem ganzen Regelsatz (anstatt mit {\tt thm}),\\

Die Variante {\tt rewrite\_set\_inst} ist eine Kombination aus den letzten zwei Varianten. Um zu sehen wie ein Ausdruck umgeschreiben wird, gibt es einen Schalter {\tt trace\_rewrite}:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> toggle;

   val it = fn : bool ref -> bool

   ML>

   ML> toggle trace_rewrite;

   val it = true : bool

   ML> toggle trace_rewrite;

   val it = false : bool

\end{verbatim}}%size

\section{Regels\"atze}

Eine Varianten von {\tt rewrite} oberhalb gelten nicht nur für einen Lehrsatz, sondern für eine Vielzahl von Lehrs\"atzen, die 'Regels\"atze' genannt werden. Ein Regelsatz wird so lange angewendet, bis eines seiner Elemente f\"ur das Umschreiben verwendet werden kann (das kann ewig dauern, zum Beispiel, wenn ein Regelsatz nicht endet).

Ein einfaches Beispiel für einen Regelsatz ist {\tt rearrange\_assoc}, welches in {\tt knowledge/RatArith.ML} beschrieben wird:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   val rearrange_assoc = 

     Rls{preconds = [], rew_ord = ("tless_true",tless_true), 

         rules = 

         [Thm ("radd_assoc_RS_sym",num_str (radd_assoc RS sym)),

          Thm ("rmult_assoc_RS_sym",num_str (rmult_assoc RS sym))],

         scr = Script ((term_of o the o (parse thy)) 

         "empty_script")

         }:rls;

\end{verbatim}}%size

\begin{description}

\item [\tt preconds] sind Bedinungen, die zutreffen m\"ussen, um den Regelsatz anwendbar zu machen (eine leere Liste berechnet {\tt true}).

\item [\tt rew\_ord] betrifft die Anordnung der Ausdr\"ucke, dei weiter unten in \ref{term-order} vorgestellt werden.

\item [\tt rules] sind die angewandten Lehrs\"atze -- grunds\"atzlich in beliebiger Anordnung, weil die Regels\"atze vervollst\"andigt werden sollten \cite{nipk:rew-all-that} (und die Lehrs\"atze werden tats\"achlich in der Reihenfolge, in der sie auf der Liste erscheinen, angewendet). Die Funktion {\tt num\_str}, muss bei den Lehrs\"atzen, die viele Konstanten enthalten, angewendet werden (und demnach ist das bei diesem Beispiel veraltert). {\tt RS} ist eine eingef\"ugte Funktion, die im Lehrsatz {\tt sym} zu {\tt radd\_assoc} vor der Abspeicherung angewendet wird (siehe 'Effekt')

\item [\tt scr] auch wenn das script den Regelsatz anwendet, wird es in späteren Versionen von \isac verschwinden.

\end{description}

Diese Variablen bestimmen folgendes:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> sym;

   val it = "?s = ?t ==> ?t = ?s" : thm 

   ML> rearrange_assoc;

   val it =

     Rls

       {preconds=[],rew_ord=("tless_true",fn),

        rules=[Thm ("radd_assoc_RS_sym","?m1 + (?n1 + ?k1) = ?m1 + ?n1 + ?k1"),

               Thm ("rmult_assoc_RS_sym","?m1 * (?n1 * ?k1) = ?m1 * ?n1 * ?k1")],

        scr=Script (Free ("empty_script","RealDef.real"))} : rls 

\end{verbatim}}%size

\paragraph{Versuchen Sie es!} Der obengenannte Regel-Satz l\"asst eine beliebige Zahl von Parenthesen verschwinden, die auf Grund von Assoziation auf {\tt +} nicht notwendig sind. 

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> val ct = (string_of_cterm o the o (parse RatArith.thy))

                "a + (b * (c * d) + e)";

   val ct = "a + ((b * (c * d) + e) + f)" : cterm'

   ML> rewrite_set "RatArith.thy" "eval_rls" false "rearrange_assoc" ct;

   val it = Some ("a + b * c * d + e + f",[]) : (string * string list) option

\end{verbatim}}%size

Um dieses Ergebnis zu erreichen muss der Regelsatz \"uberraschend schnell sein:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> toggle trace_rewrite;

   val it = true : bool

   ML> rewrite_set "RatArith.thy" "eval_rls" false "rearrange_assoc" ct;

   ### trying thm 'radd_assoc_RS_sym'

   ### rewrite_set_: a + b * (c * d) + e

   ### trying thm 'radd_assoc_RS_sym'

   ### trying thm 'rmult_assoc_RS_sym'

   ### rewrite_set_: a + b * c * d + e

   ### trying thm 'rmult_assoc_RS_sym'

   ### trying thm 'radd_assoc_RS_sym'

   ### trying thm 'rmult_assoc_RS_sym'

   val it = Some ("a + b * c * d + e",[]) : (string * string list) option

\end{verbatim}}%size

\section{Berechnung von numerischen Konstanten}

Sobald numerische Konstanten in angrenzenden Subfristen sind, können sie durch die Funktion berechnet werden (siehe p.\pageref{cond-rew}):

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> calculate;

   val it = fn : theory' -> string -> cterm' -> (cterm' * thm') option

   ML> calculate_;

   val it = fn : theory -> string -> term -> (term * (string * thm)) option

\end{verbatim}}%size

{\tt string} beschreibt in den Angaben die mathematisch zu berechnende Operation. Die Funktion gibt das Ergebnis der Berechnung, und als zweites Element in der Reihe gilt der Lehrsatz. Die folgenden mathematischen Operationen sind verfügbar:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> calc_list;

   val it =

     ref

       [("plus",("op +",fn)),

        ("times",("op *",fn)),

        ("cancel_",("cancel",fn)),

        ("power",("pow",fn)),

        ("sqrt",("sqrt",fn)),

        ("Var",("Var",fn)),

        ("Length",("Length",fn)),

        ("Nth",("Nth",fn)),

        ("power",("pow",fn)),

        ("le",("op <",fn)),

        ("leq",("op <=",fn)),

        ("is_const",("is'_const",fn)),

        ("is_root_free",("is'_root'_free",fn)),

        ("contains_root",("contains'_root",fn)),

        ("ident",("ident",fn))]

     : (string * (string * (string -> term -> theory -> 

        (string * term) option))) list ref

\end{verbatim}}%size

Diese Vorgänge k\"onnen so verwendet werden:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> calculate' "Isac.thy" "plus" "#1 + #2";

   val it = Some ("#3",("#add_#1_#2","\"#1 + #2 = #3\"")) : (string * thm') option

   ML>

   ML> calculate' "Isac.thy" "times" "#2 * #3";

   val it = Some ("#6",("#mult_#2_#3","\"#2 * #3 = #6\""))

     : (string * thm') option

   ML>

   ML> calculate' "Isac.thy" "power" "#2 ^^^ #3";

   val it = Some ("#8",("#power_#2_#3","\"#2 ^^^ #3 = #8\""))

     : (string * thm') option

   ML>

   ML> calculate' "Isac.thy" "cancel_" "#9 // #12";

   val it = Some ("#3 // #4",("#cancel_#9_#12","\"#9 // #12 = #3 // #4\""))

     : (string * thm') option

   ML>

   ML> ...

\end{verbatim}}%size

\chapter{Begriff-Ordnung}\label{term-order}

Die Anordnungen der Terme sind unverzichtbar f\"ur den Gebrauch des Umschreibens von normalen Funktionen in inhaltsorientierten - kommunikativen Breichen, wie \cite{nipk:rew-all-that}, und zum Umschreiben von normalen Formeln, die n\"otig sind um passende Modelle f\"ur Probleme zu finden, siehe \ref{pbt}.

\section{Beispiel f\"ur Begriff-Ordnungen}

Es ist nicht unbedeutend, eine Verbindung $<$ zu Termen herzustellen, die wirklich eine Anordnung besitzen, wie eine transitive und antisymmetrische Verbindung. Diese Anordnungen sind 'rekursive Bahnanordnungen' \cite{nipk:rew-all-that}. Einige Anordnungen sind im Basiswissen bei {\tt [isac-src]/knowledge/\dots}, angeführt. %FIXXXmat0201a

unter anderem

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> sqrt_right;

   val it = fn : bool -> theory -> term * term -> bool

   ML> tless_true;

   val it = fn : 'a -> bool 

\end{verbatim}}%size

Das bool Argument ist ein Schalter um die Kontrolle zur\"uck zu den zugeh\"origen Unterordnungen zu verfolgen (diese Theorie ist notwendig um die Unterordnungen als strings, sollten sie 'true' sein, anzuzeigen). Die Anordnung {\tt tless\_true} ist belanglos und tr\"agt immer {\tt true}, und {\tt sqrt\_right} bevorzugt eine Quadratwurzel, die nach rechts im Ausdruck geschoben wird:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> val t1 = (term_of o the o (parse thy)) "(sqrt a) + b";

   val t1 = Const # $ (# $ #) $ Free (#,#) : term

   ML>

   ML> val t2 = (term_of o the o (parse thy)) "b + (sqrt a)";

   val t2 = Const # $ Free # $ (Const # $ Free #) : term

   ML>

   ML> sqrt_right false SqRoot.thy (t1, t2);

   val it = false : bool

   ML> sqrt_right false SqRoot.thy (t2, t1);

   val it = true : bool

\end{verbatim}}%size

Die vielen Kontrollen, die rekursiv durch alle Subbegriffe durchgef\"uhrt werden, können überall im Algorithmus in {\tt [isac-src]/knowledge/SqRoot.ML} verfolgt werden, wenn man die flag auf true setzt:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   ML> val t1 = (term_of o the o (parse thy)) "a + b*(sqrt c) + d";

   val t1 = Const (#,#) $ (# $ # $ (# $ #)) $ Free ("d","RealDef.real") : term

   ML>

   ML> val t2 = (term_of o the o (parse thy)) "a + (sqrt b)*c + d";

   val t2 = Const (#,#) $ (# $ # $ (# $ #)) $ Free ("d","RealDef.real") : term

   ML>

   ML> sqrt_right true SqRoot.thy (t1, t2);

   t= f@ts= "op +" @ "[a + b * sqrt c,d]"

   u= g@us= "op +" @ "[a + sqrt b * c,d]"

   size_of_term(t,u)= (8, 8)

   hd_ord(f,g)      = EQUAL

   terms_ord(ts,us) = LESS

   -------

   t= f@ts= "op +" @ "[a,b * sqrt c]"

   u= g@us= "op +" @ "[a,sqrt b * c]"

   size_of_term(t,u)= (6, 6)

   hd_ord(f,g)      = EQUAL

   terms_ord(ts,us) = LESS

   -------

   t= f@ts= "a" @ "[]"

   u= g@us= "a" @ "[]"

   size_of_term(t,u)= (1, 1)

   hd_ord(f,g)      = EQUAL

   terms_ord(ts,us) = EQUAL

   -------

   t= f@ts= "op *" @ "[b,sqrt c]"

   u= g@us= "op *" @ "[sqrt b,c]"

   size_of_term(t,u)= (4, 4)

   hd_ord(f,g)      = EQUAL

   terms_ord(ts,us) = LESS

   -------

   t= f@ts= "b" @ "[]"

   u= g@us= "sqrt" @ "[b]"

   size_of_term(t,u)= (1, 2)

   hd_ord(f,g)      = LESS

   terms_ord(ts,us) = LESS

   -------

   val it = true : bool 

\end{verbatim}}%size

\section{Geordnetes Umschreiben}

Das Umschreiben beinhaltet in fast allen elementaren Bereichen Probleme, die alle assoziieren und ausgewechselt werden k\"onnen, im Bezug auf {\tt +} und {\tt *} --- Das Gesetz der Wandelbarkeit angewendet mit einem Regelsatzes, veranlasst den Satz, nicht zu enden! Ein Weg mit dieser Schwierigkeit umzugehen ist das geordnete Umschreiben, bei dem die Umschreibung erst beendet ist, wenn der Begriff des Ergebnisses kleiner ist, im Bezug auf eine Begriff-Ordnung (mit einigen zus\"atzlichen Eigenschaften, die 'rewrite orders' \cite{nipk:rew-all-that} genannt werden).

Ein solcher Regelsatz {\tt ac\_plus\_times}, der als AC-rewrite system bezeichnet wird, kann in {\tt[isac-src]/knowledge/RathArith.ML} gefunden werden:

{\footnotesize\begin{verbatim}

   val ac_plus_times =

     Rls{preconds = [], rew_ord = ("term_order",term_order),

         rules =

         [Thm ("radd_commute",radd_commute),

          Thm ("radd_left_commute",radd_left_commute),

          Thm ("radd_assoc",radd_assoc),

          Thm ("rmult_commute",rmult_commute),

          Thm ("rmult_left_commute",rmult_left_commute),

          Thm ("rmult_assoc",rmult_assoc)],

         scr = Script ((term_of o the o (parse thy))

         "empty_script")