1 \documentclass[a4paper,12pt]{article}
3 \usepackage[ngerman]{babel}
4 \usepackage[utf8]{inputenc}
7 \bibliographystyle{alpha}
9 \def\isac{${\cal I}\mkern-2mu{\cal S}\mkern-5mu{\cal AC}$}
10 \def\sisac{\footnotesize${\cal I}\mkern-2mu{\cal S}\mkern-5mu{\cal AC}$}
14 \title{\Large {\bf Verbindung von 'Computation' und 'Deduction' im \isac{}-System}\\~\\
15 Projektpraktikum am Institut für Computersprachen, TU Wien}
16 \author{Mathias Lehnfeld\\
17 {\tt mathias.lehnfeld@gmx.at}}
24 \section{Zur Aufgabenstellung}
25 Das \sisac{}-Projekt entwickelt einen {\it math assistant} aufbauend auf den
26 {\it theorem prover} Isabelle. Der Kern des \sisac{}-Systems ist ein
27 {\it Lucas-Interpreter}, der automatisch Benutzerführung für schrittweises
28 Problemlösen erzeugt: Der nächste Schritt wird von einem Programm
29 berechnet ({\it computation}); {\it deduction} wird gefordert, wenn der Benutzer
30 eine Formel eingibt (die Ableitbarkeit der Formel aus dem {\it context} ist
33 Die Aufgabenstellung im Rahmen des Projektpraktikums besteht darin, das
34 in Isabelle verfügbare Konzept {\it context} in den Lucas-Interpreter
35 einzubauen. Dies schließt grundlegende Design-Überlegungen ein, verlangt
36 tiefes Eindringen in den umfangreichen Code von zwei Softwareprodukten,
37 {\it Isabelle} und \sisac{} und bedeutet daher Zusammenarbeit mit den jeweiligen
40 Ein erfolgreicher Einbau der Isabelle-{\it context}s in den
41 Lucas-Interpreter wird \sisac{}s Fähigkeit, Benutzereingaben zu
42 interpretieren, wesentlich erweitern: {\it context}s stellen Isabelles
43 automatischen Beweisern die notwendigen Daten bereit.
46 \section{Planung des Projektes}
47 \subsection{Ist-Zustand vor dem Projekt}
48 Das Isabelle Konzept der {\it context}s findet derzeit in \sisac{} noch keine Verwendung. Dadurch entstehen gewisse Einschränkungen bezüglich der Interpretation durch den Lucas-Interpreter, weil Rechenschritte nicht unter Berücksichtigung aller Faktoren ihres Kontexts betrachtet werden können. Derzeit werden Zusicherungen und Umgebungsdaten in einer \sisac{}-spezifischen Datenstruktur verwaltet, die Zugriffe auf Isabelles Prover nicht direkt unterstützen.
50 \subsection{Geplanter Soll-Zustand nach dem Projekt}
51 \sisac{}s Lucas-Interpreter ist nun schlanker und nimmt Isabelles {\it context}s bei der Interpretation von Benutzereingaben in Anspruch. Spezifikationen werden mit Isabelles eigenen Datenstrukturen verwaltet. Zusicherungen und Typen von Variablen werden im Lucas-Interpreter in {\it context}s behandelt.
53 \subsection{Zeitplanung f\"ur das Projekt}
54 Die Planung f\"ur das Projekt sah folgende Meilensteine vor (Details siehe \ref{ms-desc}):
56 \item \textbf{Voraussetzungen zum Arbeitsbeginn schaffen} (10.02. -- 18.02.)
57 %Beschreibung siehe \ref{ms1_desc}
58 \item \textbf{\isac{} auf die letzte Isabelle-Release updaten} (21.02. -- 25.02.)
59 %Beschreibung siehe \ref{ms2_desc}
60 \item \textbf{Parsen aus \textit{contexts}} (28.02. -- 04.03.)
61 %Beschreibung siehe \ref{ms3_desc}
62 \item \textbf{Spezifikationsphase mit \textit{context}s} (07.03. -- 11.03.)
63 %Beschreibung siehe \ref{ms4_desc}
64 \item \textbf{L\"osungsphase mit \textit{context}s} (14.03. -- 18.03.)
65 %Beschreibung siehe \ref{ms5_desc}
68 \section{Konzepte und L\"osungen}
69 \subsection{Architektur von \isac}
70 Die Grafik auf Seite \pageref{architektur} gibt einen \"Uberblick \"uber die Architektur von \sisac:
74 \includegraphics[width=120mm]{overview.pdf}
76 \caption{Lucas-interpreter und Isabelle}
79 Die Mathematik-Engine von \sisac{} ist nach dem Konzept eines ``Lucas-Interpreters'' (LI) gebaut. Ein LI interpretiert drei Arten von Daten:
81 \item\label{spec}\textbf{Spezifikationen}: diese beschreiben ein Problem der angewandten Mathematik durch die Ein- und Ausgabedaten, die ``precondition'' (Pr\"adikate auf den Eingabedaten) und eine ``postcondition'' (eine Relation zwischen Ein- und Ausgabedaten). Spezifikationen stellen den \textit{applikations-orientierten} Aspekt der Mathematik dar.
82 \item \textbf{Programme}: beschreiben den Algorithmus zur L\"osung des spezifizierten Problems. \sisac's Programmsprache ist funktional und hat keine Ein- oder Ausgabe-Statements \cite{plmms10}. Sie kann aber auf Funktionalit\"aten des Computer Theorem Provers (CTP) Isabelle \cite{Nipkow-Paulson-Wenzel:2002} zugreifen. Programme stellen den \textit{algorithmischen} Aspekt der Mathematik dar.
83 \item \textbf{Theorien}: beinhalten die Definitionen, Axiome und Theoreme, die einer bestimmten Rechnung der angewandten Mathematik zugrundeliegen. \sisac{} verwendet die ``theories'' von Isabelle in vollem Umfang. Theorien stellen den \textit{deduktiven} Aspekt der Mathematik dar.
86 Die Funktionalit\"at eines LI kann in kurzer Form durch die folgenden drei Anspr\"uche erkl\"art werden\footnote{siehe http://www.ist.tugraz.at/isac/index.php/Description}:
89 \item \textbf{Benutzereingaben pr\"ufen}: Benutzereingaben sollen so gro\3z\"ugig wie m\"oglich verarbeitet werden. Bei einem gegebenen Problem aus der angewandten Mathematik als formale Spezifikation, wird mit den jeweiligen ``preconditions'' ein ``context'' erzeugt. Nun kann ein Isabelle ``prover'' die Ableitbarkeit einer Benutzereingabe aus dem ``context'' \"uberpr\"ufen. Der ``context'' wird Schritt f\"ur Schritt durch Benutzereingaben erweitert, bis ein Ergebnis vorliegt, das beweisbar die ``postcondition'' aus der Spezifikation erf\"ullt.
90 \item \textbf{Den Benutzer anleiten}: Wei\3 der Lernende nicht mehr weiter, so kann das System den n\"achsten Schritt vorschlagen und den Benutzer so Schritt f\"ur Schritt zum Ergebnis f\"uhren. Ein \sisac{}-Programm wird so interpretiert, wie es bei einem Debugger passiert; die Breakpoints (i.e. Schritte) sind als bestimmte Statements im Programm definiert, die notwendigerweise zum Verlauf der Rechnung bzw. deren Aufbau geh\"oren. An den Breakpoints kann der Benutzer frei entscheiden, ob er den n\"achsten Schritt generieren lassen m\"ochte oder ob er versucht, selbst weiter zu rechnen. Die Herausforderung f\"ur den \textit{Lucas-Interpreter} ist, mit beliebigen Benutzereingaben umgehen zu k\"onnen.
91 \item \textbf{Schritte erkl\"aren}: Bei Interesse hat der Lernende Zugang zu dem Wissen, das f\"ur einen mechanisierten \textit{math assistant} zur L\"osung mathematischer Probleme von N\"oten ist: Definitionen, Axiome und Theoreme (erfasst in ``theories''\footnote{siehe http://www.ist.tugraz.at/projects/isac/www/kbase/thy/index\_thy.html}), Spezifikationen von Problemklassen\footnote{siehe z.B. http://www.ist.tugraz.at/projects/isac/www/kbase/pbl/index\_pbl.html} und Programme, um die Probleme zu l\"osen\footnote{siehe http://www.ist.tugraz.at/projects/isac/www/kbase/met/index\_met.html}. Theoretisch ist dieses Wissen ausreichend, automatisch Erkl\"arungen f\"ur die einzelnen Schritte zu generieren. Das Hintergrundwissen liegt zwar in mathematischer Formulierung vor, es ist jedoch fraglich, wie dies in eine Form gebracht werden kann, die den Lernenden nicht \"uberfordert.
94 \subsection{Isabelles Konzept von ``contexts''}
95 Die Beschreibung dieses bew\"ahrten Konzeptes findet sich in einem internen Papier zur Implementierung von Isabelles Beweissprache Isar \cite{isar-impl}. Isabelle stellt einen sehr generellen Funktor zur Verf\"ugung:
100 structure ContextData = {Proof\_Data}\\
101 \>~({type T} = term list\\
102 \>\>{fun init \_} = []);\\
104 fun insert\_assumptions asms = \\
105 \>\>\>ContextData{.map} (fn xs => distinct (asms@xs));\\
107 fun get\_assumptions ctxt = ContextData{.get} ctxt;\\
110 val declare\_constraints : \\
111 \>\>\>term -> Proof.context -> Proof.context
114 Das Einzige, was die Definition eines''contexts'' braucht, ist die Spezifikation eines Typs \textit{type T} und einer Funktion \textit{fun init \_} f\"ur den Funktor \textit{Proof\_Data}. Dieser stellt dann die Zugriffsfunktionen \textit{ContextData.map} und \textit{ContextData.get} zur Verf\"ugung.
116 Die Funktion \textit{declare\_constraints} liefert eine wichtige Funktionalit\"at: Ein \textit{term} angewandt auf einen \textit{Proof.context} ergibt einen neuen \textit{Proof.context}, der f\"ur das Parsen von Strings verwendet werden kann:
119 xx\=xx\=xx\=xx\=xx\=\kill
120 fun parseNEW ctxt str = \\
121 \>\>\>SOME ({Syntax.read\_term ctxt} str |> numbers\_to\_string)\\
122 \>\>\>handle \_ => NONE;
125 \textit{Syntax.read\_term ctxt} entnimmt dem ``context'' die Typinformation, die vorher durch \textit{declare\_constraints} zugef\"uhrt wurde. Da die \textit{fun parse} vor Beginn dieses Projektes keine ``contexts'' zur Verf\"ugung hatte, setzte sie mittels \textit{typ\_a2real} einfach alle unbestimmten Typen auf \textit{real}:
128 xx\=xx\=xx\=xx\=xx\=\kill
129 fun parse thy str =\\
130 \>(let val t = ({typ\_a2real} o numbers\_to\_string)\\
131 \>\>\>\>({Syntax.read\_term\_global thy} str)\\
132 \>\>in SOME (cterm\_of thy t) end)\\
133 \>\>\>handle \_ => NONE;\\
137 \subsection{Die Initialisierung von ``contexts''}\label{init-ctxt}
138 ``Contexts'' werden an zwei Stellen von Lucas-Interpretation initialisiert: am Beginn der Spezifikationsphase und zu Beginn der L\"osungsphase.
141 \item\label{init-ctxt-spec}{Die Spezifikations-Phase} dient der Erstellung einer formalen Spezifikation (siehe \ref{spec})\footnote{Da bekannterma\3en formales Spezifizieren schwierig ist, kann es durch entsprechende Dialog-Einstellung dem LI \"uberlassen werden.}. Der ``context'' wird mittels \textit{declare\_constraints} mit den Typdeklarationen aller vorkommenden Variablen initialisiert.
143 Im Falle eines Rootproblems kommen die Variablen von einer ``formalization'', einer Kurzbeschreibung der Eingabedaten durch einen Autor. Im Falle eines Subproblems kommen die Variablen von den ``actual arguments'' des Subprogrammes.
145 \item\label{init-ctxt-solve}{Die L\"osungsphase} erzeugt die Rechenschritte aus dem spezifizierten Programm. Zu Beginn der Interpretation des Programmes wird der ``context'' initialisiert mit
147 \item den Typdeklarationen aller in der Spezifikation vorkommenden Variablen mittels \textit{declare\_constraints}
148 \item den ``preconditions'' des (interaktiv oder automatisch) spezifizierten Programmes, genauer: mit den ``preconditions'' des zugeh\"origen Guards, der meist gleich der Spezifikation ist
153 \subsection{Aufbau von ``contexts'' in der Interpretation}\label{partiality}
154 W\"ahrend der Interpretation eines Programmes baut der Lucas-Interpreter einen ``context'' auf, indem er alle relevanten ``preconditions'', andere Pr\"adikate -- insbesondere ``partiality conditions'' -- einsammelt. Eine ``partiality condition'' ist zum Beispiel $x\not=0$, die eine Division durch $0$ verhindert.
156 Am Ende eines Programmes soll der ``context'' hinreichend logische Information enthalten, sodass Isabelles automatische Beweiser die ``postcondition'' automatisch beweisen k\"onnen (das ist eine k\"unftige Entwicklungsaufgabe!).
158 \subsection{Transfer von ``contexts'' aus Subprogrammen}\label{transfer}
159 ``contexts'' folgen den \"ublichen Scope-Regeln von Programmsprachen mit Blockstruktur, wie schon die Initialisierung von ``contexts'' gezeigt hat. Die Behandlung von ``contexts'' bei der R\"uckkehr aus Subprogrammen erfolgt durch folgende Funktionen:
162 xx\=xx\=xx\=xx\=xx\=\kill
163 fun transfer\_asms\_from\_to from\_ctxt to\_ctxt =\\
165 \>\> val to\_vars = get\_assumptions to\_ctxt |> map vars |> flat\\
166 \>\> fun transfer [] to\_ctxt = to\_ctxt\\
167 \>\>\> | transfer (from\_asm::fas) to\_ctxt =\\
168 \>\>\>\>\> if inter op = (vars from\_asm) to\_vars = []\\
169 \>\>\>\>\> then transfer fas to\_ctxt\\
170 \>\>\>\>\> else transfer fas (insert\_assumptions [from\_asm] to\_ctxt)\\
171 \> in transfer (get\_assumptions from\_ctxt) to\_ctxt end\\
174 Folgende Daten werden aus dem Sub-``context'' in den ``context'' des aufrufenden Programmes zur\"uckgegeben:
176 \item die R\"uckgabewerte des Subprogrammes, sofern sie vom Typ \textit{bool} sind
177 \item alle \textit{assumptions}, die eine Variable enthalten, die auch einer der R\"uckgabewerte enth\"alt
178 \item alle \textit{assumptions}, die eine Variable enthalten, die in einem Term des aufrufenden Programmes enthalten sind\footnote{in diesem Punkt sind die Scope-Regeln schw\"acher als sonst bei Subprogrammen}
181 \`$\mathit{(some)}\;\mathit{assumptions}$\\
182 $\mathit{solve}\;(\frac{x}{x ^ 2 - 6 * x + 9} - \frac{1}{x ^ 2 - 3 * x} = \frac{1}{x}, x)$\\
183 % \`$x ^ 2 - 6 * x + 9\not=0\land x ^ 2 - 3 * x\not=0$\\
184 %\>$\frac{x}{x ^ 2 - 6 * x + 9} - \frac{1}{x ^ 2 - 3 * x} = \frac{1}{x}$ \\ \\
185 %\>$\frac{x}{x ^ 2 + -1 * (6 * x) + 9} + \frac{-1 * 1}{x ^ 2 + -1 * (3 * x)} = \frac{1}{x}$ \\ \\
186 \>$\frac{3 + -1 * x + x ^ 2}{9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3} = \frac{1}{x}$ \\
187 \`$x\not=3\land x\not=0$\\
188 \>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3)$ \\
189 \>$\mathit{solve}\;((3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3), x)$ \\
190 %\>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3)$ \\
191 %\>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x - 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3) = 0$ \\
192 \>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x - (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3) = 0$ \\
193 \>\>$-6 * x + 5 * x ^ 2 = 0$ \\
194 \>\>$\mathit{solve}\;(-6 * x + 5 * x ^ 2 = 0, x)$ \\
195 \>\>$[x = 0, x = \frac{6}{5}]$ \\
196 \`$x = 0\land x = \frac{6}{5}$\\
197 \>$[{x = 0}, x = \frac{6}{5}]$ \\
198 \`{$\mathit{Check\_Elementwise}\;\mathit{Assumptions}:x\not=0\land x = 0$}\\
199 \>$[x = \frac{6}{5}]$ \\
202 der Unterschied begr\"undet sich darin, dass Rechnungen vorzugsweise mit Variablennamen vorgehen, die block\"ubergreifend g\"ultig sind.
203 \item\label{conflict} \textbf{nicht zur\"uckgegeben} werden R\"uckgabewerte des Subprogrammes dann, wenn sie im Widerspruch zum ``context'' des aufrunfenden Programmes stehen. Hier ist ein Beispiel:
208 \`$\mathit{(some)}\;\mathit{assumptions}$\\
209 $\mathit{solve}\;(\frac{x}{x ^ 2 - 6 * x + 9} - \frac{1}{x ^ 2 - 3 * x} = \frac{1}{x}, x)$\\
210 \`$x ^ 2 - 6 * x + 9\not=0\land x ^ 2 - 3 * x\not=0$\\
211 \>$\frac{x}{x ^ 2 - 6 * x + 9} - \frac{1}{x ^ 2 - 3 * x} = \frac{1}{x}$ \\ \\
212 \>$\frac{x}{x ^ 2 + -1 * (6 * x) + 9} + \frac{-1 * 1}{x ^ 2 + -1 * (3 * x)} = \frac{1}{x}$ \\ \\
213 \>$\frac{3 + -1 * x + x ^ 2}{9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3} = \frac{1}{x}$ \\
214 \`$x\not=3\land x\not=0$\\
215 \>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3)$ \\
216 \>$\mathit{solve}\;((3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3), x)$ \\
217 \>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x = 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3)$ \\
218 \>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x - 1 * (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3) = 0$ \\
219 \>\>$(3 + -1 * x + x ^ 2) * x - (9 * x + -6 * x ^ 2 + x ^ 3) = 0$ \\
220 \>\>$-6 * x + 5 * x ^ 2 = 0$ \\
221 \>\>$\mathit{solve}\;(-6 * x + 5 * x ^ 2 = 0, x)$ \\
222 \>\>$[x = 0, x = \frac{6}{5}]$ \\
223 \`$x = 0\land x = \frac{6}{5}$\\
224 \>$[{x = 0}, x = \frac{6}{5}]$ \\
225 \`{$\mathit{Check\_Elementwise}\;\mathit{Assumptions}:x\not=0\land x = 0$}\\
226 \>$[x = \frac{6}{5}]$ \\
229 Aufgrund von Punkt \ref{conflict}. oben wird es m\"oglich, aus dem Programm, das obige Rechnung erzeugt, das Statement \textit{Check\_Elementwise Assumptions} zu streichen:
232 xx\=xx\=xx\=xx\=xx\=xx\=\kill
233 Script Solve\_root\_equation (e\_e::bool) (v\_v::real) = \\
234 \> (let e\_e = ((Try (Rewrite\_Set norm\_equation False)) \@\@ \\
235 \>\>\> (Try (Rewrite\_Set Test\_simplify False))) e\_e; \\
236 \>\> (L\_L::bool list) = \\
237 \>\>\> (SubProblem (Test', \\
238 \>\>\>\> [linear,univariate,equation,test]\\
239 \>\>\>\> [Test,solve\_linear]) \\
240 \>\>\>\> [BOOL e\_e, REAL v\_v]) \\
241 \> in {Check\_Elementwise L\_L \{(v\_v::real). Assumptions\}})\\
244 Hiermit geht die Entwicklung des Konzeptes von Lucas-Interpretation einen Schritt in die begonnene Richtung weiter, die Verschiebung des Programmieraufwandes von ``computation'' (im herk\"ommlichen Programmieren) auf ``deduction'' (im Spezifizieren von Programmeigenschaften) zu unterst\"utzen.
246 \subsection{\"Uberblick: ``contexts'' bei Lucas-Interpretation}
248 Im Folgenden betrachten wir ein Bespiel für die Lösung einer Aufgabe durch \sisac. Die gegebenen Codeausschnitte sind nur Teile des gesamten Programmes. Der vollständige Code befindet sich in Anhang \ref{demo-code}.
250 \paragraph{Formulierung der Aufgabenstellung und Spezifikation}~\\
252 Erklärung siehe \ref{init-ctxt-spec}.
254 val fmz = ["equality (x+1=(2::real))", "solveFor x", "solutions L"];
256 ("Test", ["sqroot-test","univariate","equation","test"],
257 ["Test","squ-equ-test-subpbl1"]);
258 val (p,_,f,nxt,_,pt) = CalcTreeTEST [(fmz, (dI',pI',mI'))];
260 \textit{fmz} enthält also die zwei Eingabegrößen und die gesuchte Ausgabegröße, also die Liste aller Lösungen für \textit{x} in der Gleichung $x + 1 = 2$. Die zweite Zeile definiert den Namen der ``theory'' mit dem deduktiven Hintergrundwissen, die Spezifikation in Form einer Liste und das zu verwendende Programm.\\
261 \textit{CalcTreeTEST} erzeugt schlie\3lich die grundlegenden Datenstrukturen für die folgenden Berechnungen. Beispielsweise wird ein ``context'' erzeugt, der nun im Baum \textit{pt} an der Position \textit{p} steht.
263 val ctxt = get_ctxt pt p;
264 val SOME known_x = parseNEW ctxt "x + y + z";
265 val SOME unknown = parseNEW ctxt "a + b + c";
267 Dies erzeugt folgenden Output:
269 val ctxt = <context>: Proof.context
271 Const ("Groups.plus_class.plus",
272 "RealDef.real => RealDef.real => RealDef.real") $
273 (Const ("Groups.plus_class.plus",
274 "RealDef.real => RealDef.real => RealDef.real") $
275 Free ("x", "RealDef.real") $ Free ("y", "RealDef.real")) $
276 Free ("z", "RealDef.real"):
279 Const ("Groups.plus_class.plus", "'a => 'a => 'a") $
280 (Const ("Groups.plus_class.plus", "'a => 'a => 'a")
281 $ Free ("a", "'a") $ Free ("b", "'a")) $
285 Der Output dieser Zeilen zeigt die neue Funktionalität anhand der Erkennung des Typs \textit{real} für die Variablen \textit{x}, \textit{y} und \textit{z} mittels Typinferenz, im Gegensatz zu den Unbekannten \textit{a}, \textit{b} und \textit{c} (unbekannter Typ \textit{'a}.
287 \paragraph{Beginn der Interpretation}~\\
289 Nach einigen Schritten der Mathematik-Engine ist die Spezifikationsphase beendet und die Interpretation des Programmes kann beginnen. Die ``precondition'' ist in den Assumptions enthalten:
291 get_assumptions_ pt p |> terms2strs
295 val it = ["precond_rootmet x"]: string list
298 \paragraph{Bearbeitung eines Subproblems}~\\
300 Einige Ausführungsschritte später startet der Interpreter mit der Gleichung $-1 + x = 0$ ein Subproblem, beginnt dort wiederum mit Spezifikationsphase und setzt mit der Lösungsphase fort.\\
301 In einem Zwischenschritt bestehen die lokalen Assumptions aus der Annahme, dass die Gleichung mit der Gleichheitsregel zu matchen ist:
303 ["matches (?a = ?b) (-1 + x = 0)"]: string list
305 Nach künstlichem Einfügen zweier Assumptions und Beendigung des Subproblems steht eine Lösung für \textit{x} in den Assumptions:\\
306 \texttt{[\dq{}matches (?a = ?b) (-1 + x = 0)\dq{}, \dq{}x < sub\_asm\_out\dq{}, \dq{}{\bf x = 1}\dq{}, \dq{}precond\_rootmet x\dq{}]: string list}\\
308 Bei der Rückkehr aus dem Subproblem könnte eine erzeugte Lösung aufgrund einer Bedingungsverletzung wieder wegfallen, hier ist das nicht der Fall. Die Überprüfung dieser Bedingungen (siehe \ref{partiality}) geschieht beim Transfer des lokalen ``contexts'' in den übergeordneten (hier der des Rootproblems, siehe \ref{transfer}).
310 \paragraph{Abschluss der Berechnung}~\\
312 Nach den letzten Aufrufen der Mathematik-Engine stehen alle Schritte fest:
314 (([], Frm), solve (x + 1 = 2, x)),
315 (([1], Frm), x + 1 = 2),
316 (([1], Res), x + 1 + -1 * 2 = 0),
317 (([2], Res), -1 + x = 0),
318 (([3], Pbl), solve (-1 + x = 0, x)),
319 (([3,1], Frm), -1 + x = 0),
320 (([3,1], Res), x = 0 + -1 * -1),
321 (([3,2], Res), x = 1),
322 (([3], Res), [x = 1]),
323 (([4], Res), [x = 1]),
324 (([], Res), [x = 1])]
327 \section{Beschreibung der Meilensteine}\label{ms-desc}
328 \subsection{Voraussetzungen zum Arbeitsbeginn schaffen}\label{ms1_desc}
329 Die Komplexit\"at \sisac{}s, welches auf Konzepten von Isabelle aufbaut und die tief ins System eingreifenden Ver\"anderungen in den bevorstehenden Meilensteinen machen eine intensive Auseinandersetzung mit Isabelle, insbesondere mit dem Konzept der ``contexts'', und dem \sisac-Code notwendig. Darunter fallen neben dem Lesen von Dokumentationen auch die gezielte Suche von Anwendungsf\"allen im bestehenden Code, sowie das Studieren von Coding Standards und ein Vertrautmachen mit den im \sisac-Team \"ublichen Workflows.
331 \subsection{\isac{} auf die letzte Isabelle-Release updaten}\label{ms2_desc}
332 Die Arbeit mit den Isabelle {\it context}s wird Anfragen in isabelle-dev@
333 erfordern. isabelle-dev@ beantwortet Fragen i.A. nur f\"ur die aktuelle
334 Release. Überraschenderweise wurde zwei Wochen vor Beginn des Projektpraktikums eine neue Release
335 veröffentlicht. Daher muss auf diese vor Arbeitsbeginn upgedatet werden.
337 \subsection{Parsen aus {\it context}s}\label{ms3_desc}
338 Bisher nahm \sisac{} für jede Variable den Typ {\it real} an. Variablen, Terme und Pr\"adikate sollen nun beim ersten Auftreten im {\it context} eingetragen werden. User-Input wird mithilfe des {\it context}s mittels Typinferenz typgerecht geparst. Die Verwendungen der bestehenden \textit{parse}-Funktion m\"ussen im ganzen System ersetzt und angepasst werden.
340 \subsection{Spezifikationsphase mit {\it context}s}\label{ms4_desc}
341 \sisac{} sah für die Spezifikation eine Datenstruktur vor, die interaktives Spezifizieren effizient unterstützt. Diese Datenstruktur soll nun durch {\it context}s ersetzt werden. Dadurch ist die bisherige Fixierung auf {\it real} aufgehoben und beliebige Typen werden fehlerfrei behandelt. Dieser Schritt macht weitere Eingriffe in grundlegende Funktionen und Datenstrukturen des Systems notwendig.
343 \subsection{L\"osungsphase mit {\it context}s}\label{ms5_desc}
344 Der Lucas-Interpreter speicherte Assumptions (precondition, partiality conditions, etc.) in einer eigenen Datenstruktur im Rechenbaum. Nun sollen Assumptions im {\it context} verwaltet werden. Dazu sind Schreib- und Lesefunktionen zu implementieren und alle Verwendungen von Assumptions entsprechend anzupassen.
346 \section{Bericht zum Projektverlauf}
348 \subsection{Voraussetzungen zum Arbeitsbeginn schaffen}
349 Die Größe der Projekte {\it Isabelle} und \sisac{} sowie deren Abgrenzung haben den Weg zu meinem schließlichen Verständnis der Aufgabenstellung etwas langwierig gestaltet. Dazu kamen nicht geplante, organisatorische Vorbereitungen, wie die Erstellung einer Projektbeschreibung und des -planes. Die lange Vorbereitung hat sich aber positiv auf den weiteren Verlauf des Projektes ausgewirkt.
351 \subsection{\isac{} auf die letzte Isabelle-Release updaten}
352 Da die Veröffentlichung der {\it Isabelle}-Version 2009-2 noch nicht lange zurück lag, kam {\it Isabelle2011} mit vielen grundlegenden Änderungen im System kurz vor Projektbeginn sehr überraschend. Die Mailingliste der Entwickler beantwortet nur Fragen zur aktuellen Release, weshalb ein entsprechendes Update von \sisac{} vor Arbeitsbeginn notwendig war.\\
353 Dieser Arbeitsschritt beanspruchte wesentlich mehr Zeit als ursprünglich geplant. Als \sisac{} schließlich erfolgreich kompilierte funktionierte eine große Zahl der Tests nicht mehr. Dies machte die selbstständige Arbeit für mich vorerst unmöglich. Ich konnte jedoch in persönlicher Zusammenarbeit mit Walther Neuper meine Fähigkeiten einbringen. Die Notwendigkeit dieser persönlichen Zusammenarbeit verzögerte den Projektverlauf.
355 \subsection{Parsen aus {\it context}s}
356 In diesem Schritt konnte ich besonders Syntax und Funktionsweise von StandardML, die praktischen, {\it Isabelle}-eigenen Operatoren und die Arbeitsweise mit der Entwicklungsumgebung kennen lernen. Dieser Meilenstein konnte in recht kurzer Zeit abgeschlossen werden.
358 \subsection{Spezifikationsphase mit {\it context}s}
359 Hier konnte ich sehr viel selbstständig arbeiten. Zu Beginn verlief alles völlig problemlos, die Suche nach einem bestimmten Fehler beanspruchte dann aber mit Abstand die meiste Zeit, hatte jedoch zur Folge, dass ich mich sehr intensiv mit dem System auseinandersetzen musste und damit einige Kernfunktionen kennen und verstehen lernte und teilweise sogar etwas optimieren konnte.
360 Insgesamt verlief diese Phase trotz der langwierigen Fehlersuche nicht viel langsamer als geplant.
362 \subsection{L\"osungsphase mit {\it context}s}
363 Die Integration von {\it context}s in die Lösungsphase zur Ersetzung der ursprünglichen behandlung von Assertions konnte in enger Zusammenarbeit mit Herrn Neuper fertiggestellt werden, persönliche Termine auf beiden Seiten verlängerten aber den zeitlichen Verlauf. Der Code des Lucas-Interpreters ist jetzt sauberer und die Logik vereinfacht.
366 \section{Abschließende Bemerkungen}
367 Rückblickend betrachte ich das Projektpraktikum als sehr positive Erfahrung, da ich das Gefühl habe, etwas nicht Unwesentliches zur Erweiterung von \sisac{} beigetragen zu haben. Die persönliche Zusammenarbeit mit Akademikern und auch die Verrichtung einer Arbeit, die nach Abschluss gebraucht und verwendet wird, ist eine Erfahrung, die in meinem Studium nicht selbstverständlich ist und um die ich mich sehr bemüht habe.\\
368 Der nicht zuletzt durch das überraschend notwendig gewordene Update bedingte zähe Verlauf bis ich endlich wirklich an der eigentlichen Aufgabenstellung arbeiten konnte war etwas ernüchternd, da ich gehofft hatte, das Praktikum bis spätestens Ende März abschließen zu können.\\
369 Die Zusammenarbeit mit Herrn Neuper hat jedenfalls sehr gut funktioniert und aus meiner Sicht haben wir uns sehr gut verstanden. Das hat ein entspanntes Arbeitsklima ermöglicht.\\
370 Abgesehen von der zeitlichen Verzögerung des Projektes freue ich mich über den erfolgreichen Abschluss der geplanten Aufgaben und deren interessanten Charakter.
380 \section{Demobeispiel}\label{demo-code}
383 theory All_Ctxt imports Isac begin
385 text {* all changes of context are demonstrated in a mini example.
386 see test/../mstools.sml --- all ctxt changes in minimsubpbl x+1=2 --- *}
388 section {* start of the mini example *}
391 val fmz = ["equality (x+1=(2::real))", "solveFor x", "solutions L"];
393 ("Test", ["sqroot-test","univariate","equation","test"],
394 ["Test","squ-equ-test-subpbl1"]);
395 val (p,_,f,nxt,_,pt) = CalcTreeTEST [(fmz, (dI',pI',mI'))];
398 section {* start of specify phase *}
400 text {* variables known from formalisation provide type-inference
404 val ctxt = get_ctxt pt p;
405 val SOME known_x = parseNEW ctxt "x + y + z";
406 val SOME unknown = parseNEW ctxt "a + b + c";
410 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
411 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
412 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
413 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
414 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
415 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
416 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
417 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
420 section {* start interpretation of method *}
422 text {* preconditions are known at start of
423 interpretation of (root-)method *}
426 get_assumptions_ pt p |> terms2strs;
430 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
431 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
432 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
435 section {* start a subproblem: specification *}
437 text {* variables known from arguments of (sub-)method
438 provide type-inference for further input *}
441 val ctxt = get_ctxt pt p;
442 val SOME known_x = parseNEW ctxt "x+y+z";
443 val SOME unknown = parseNEW ctxt "a+b+c";
447 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
448 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
449 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
450 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
451 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
452 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
453 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
454 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
457 section {* interpretation of subproblem's method *}
459 text {* preconds are known at start of interpretation of (sub-)method *}
462 get_assumptions_ pt p |> terms2strs
466 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
470 "artifically inject assumptions";
471 val (SOME (iform, cform), SOME (ires, cres)) = get_obj g_loc pt (fst p);
472 val ctxt = insert_assumptions [str2term "x < sub_asm_out",
473 str2term "a < sub_asm_local"] cres;
474 val pt = update_loc' pt (fst p) (SOME (iform, cform), SOME (ires, ctxt));
478 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
479 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
482 section {* finish subproblem, return to calling method*}
484 text {* transfer non-local assumptions and result from sub-method
486 non-local assumptions are those contaning a variable known
491 terms2strs (get_assumptions_ pt p);
495 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
496 val (p,_,f,nxt,_,pt) = me nxt p [] pt;
499 section {* finish Lucas interpretation *}
501 text {* assumptions collected during lucas-interpretation
502 for proof of postcondition *}
505 terms2strs (get_assumptions_ pt p);
515 \section{Stundenliste}
517 \subsection*{Voraussetzungen zum Arbeitsbeginn schaffen}
518 \begin{tabular}[t]{lll}
519 {\bf Datum} & {\bf Stunden} & {\bf Beschreibung} \\
520 10.02.2011 & 2:00 & Besprechung der Problemstellung \\
521 11.02.2011 & 1:30 & {\it context}s studieren, Isabelle/Mercurial Installation \\
522 18.02.2011 & 0:15 & meld/tortoisehg installieren \\
523 20.02.2011 & 1:00 & Projektbeschreibung, jedit Probleme \\
524 25.02.2011 & 1:00 & Ausarbeitung Meilensteine \\
525 26.02.2011 & 1:00 & Ausarbeitung Ist-/Soll-Zustand, {\it context}s studieren\\
526 28.02.2011 & 1:15 & Einführungsbeispiel {\it context}s \\
527 28.02.2011 & 1:15 & Projektplan erstellen, formatieren \\
528 01.03.2011 & 1:00 & Projektplan überarbeiten, Stundenlisten \\
531 \subsection*{\isac{} auf die letzte Isabelle-Release updaten}
532 \begin{tabular}[t]{lll}
533 {\bf Datum} & {\bf Stunden} & {\bf Beschreibung} \\
534 18.02.2011 & 2:45 & Anpassungen an Isabelle2011 \\
535 20.02.2011 & 2:45 & Update auf Isabelle2011, Fehlersuche \\
536 21.02.2011 & 6:30 & ... \\
537 25.02.2011 & 5:30 & ... \\
538 26.02.2011 & 4:30 & ... \\
539 03.03.2011 & 5:00 & ... \\
540 04.03.2011 & 6:00 & Tests reparieren \\
543 \subsection*{Parsen aus \textit{contexts}}
544 \begin{tabular}[t]{lll}
545 {\bf Datum} & {\bf Stunden} & {\bf Beschreibung} \\
546 02.03.2011 & 1:30 & vorbereitendes Übungsbeispiel \\
547 03.03.2011 & 1:00 & ... \\
548 04.03.2011 & 5:00 & Funktion {\tt parseNEW} schreiben \\
549 05.03.2011 & 3:00 & Funktion {\tt vars} anpassen, {\tt declare\_constraints} neu \\
550 07.03.2011 & 8:45 & {\tt parseNEW}, Spezifikationen studieren \\
551 08.03.2011 & 6:00 & {\it context} in zentrale Datenstrukturen einbauen \\
552 09.03.2011 & 2:00 & Fehlersuche {\it context}-Integration \\
555 \subsection*{Spezifikationsphase mit \textit{context}s}
556 \begin{tabular}[t]{lll}
557 {\bf Datum} & {\bf Stunden} & {\bf Beschreibung} \\
558 10.03.2011 & 2:30 & {\it context} in {\tt prep\_ori} und {\tt appl\_add} einbauen\\
559 11.03.2011 & 5:45 & {\tt appl\_add} überarbeiten \\
560 12.03.2011 & 5:15 & Fehlersuche \\
561 14.03.2011 & 2:00 & ... \\
562 16.03.2011 & 2:30 & ... \\
563 17.03.2011 & 1:45 & ... \\
564 18.03.2011 & 4:45 & ..., Optimierung \\
565 19.03.2011 & 5:30 & ... \\
566 21.03.2011 & 3:00 & Abschluss Spezifikationsphase \\
569 \subsection*{L\"osungsphase mit \textit{context}s}
570 \begin{tabular}[t]{lll}
571 {\bf Datum} & {\bf Stunden} & {\bf Beschreibung} \\
572 22.03.2011 & 4:30 & {\it context} in Funktion {\tt solve} einbauen\\
573 23.03.2011 & 4:45 & Tests reparieren \\
574 24.03.2011 & 3:30 & ... \\
575 25.03.2011 & 2:00 & ... \\
576 03.04.2011 & 4:00 & ... \\
577 05.04.2011 & 8:00 & Optimierung \\
578 06.04.2011 & 7:15 & L\"osung Exponentenoperator \\
579 07.04.2011 & 7:00 & ... \\
580 12.04.2011 & 3:30 & Projektbericht \\