1 (* Title: HOL/Imperative_HOL/ex/Subarray.thy
2 Author: Lukas Bulwahn, TU Muenchen
5 header {* Theorems about sub arrays *}
11 definition subarray :: "nat \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> ('a::heap) array \<Rightarrow> heap \<Rightarrow> 'a list" where
12 "subarray n m a h \<equiv> sublist' n m (get_array a h)"
14 lemma subarray_upd: "i \<ge> m \<Longrightarrow> subarray n m a (Array.change a i v h) = subarray n m a h"
15 apply (simp add: subarray_def Array.change_def)
16 apply (simp add: sublist'_update1)
19 lemma subarray_upd2: " i < n \<Longrightarrow> subarray n m a (Array.change a i v h) = subarray n m a h"
20 apply (simp add: subarray_def Array.change_def)
21 apply (subst sublist'_update2)
26 lemma subarray_upd3: "\<lbrakk> n \<le> i; i < m\<rbrakk> \<Longrightarrow> subarray n m a (Array.change a i v h) = subarray n m a h[i - n := v]"
27 unfolding subarray_def Array.change_def
28 by (simp add: sublist'_update3)
30 lemma subarray_Nil: "n \<ge> m \<Longrightarrow> subarray n m a h = []"
31 by (simp add: subarray_def sublist'_Nil')
33 lemma subarray_single: "\<lbrakk> n < Array.length a h \<rbrakk> \<Longrightarrow> subarray n (Suc n) a h = [get_array a h ! n]"
34 by (simp add: subarray_def length_def sublist'_single)
36 lemma length_subarray: "m \<le> Array.length a h \<Longrightarrow> List.length (subarray n m a h) = m - n"
37 by (simp add: subarray_def length_def length_sublist')
39 lemma length_subarray_0: "m \<le> Array.length a h \<Longrightarrow> List.length (subarray 0 m a h) = m"
40 by (simp add: length_subarray)
42 lemma subarray_nth_array_Cons: "\<lbrakk> i < Array.length a h; i < j \<rbrakk> \<Longrightarrow> (get_array a h ! i) # subarray (Suc i) j a h = subarray i j a h"
43 unfolding Array.length_def subarray_def
44 by (simp add: sublist'_front)
46 lemma subarray_nth_array_back: "\<lbrakk> i < j; j \<le> Array.length a h\<rbrakk> \<Longrightarrow> subarray i j a h = subarray i (j - 1) a h @ [get_array a h ! (j - 1)]"
47 unfolding Array.length_def subarray_def
48 by (simp add: sublist'_back)
50 lemma subarray_append: "\<lbrakk> i < j; j < k \<rbrakk> \<Longrightarrow> subarray i j a h @ subarray j k a h = subarray i k a h"
51 unfolding subarray_def
52 by (simp add: sublist'_append)
54 lemma subarray_all: "subarray 0 (Array.length a h) a h = get_array a h"
55 unfolding Array.length_def subarray_def
56 by (simp add: sublist'_all)
58 lemma nth_subarray: "\<lbrakk> k < j - i; j \<le> Array.length a h \<rbrakk> \<Longrightarrow> subarray i j a h ! k = get_array a h ! (i + k)"
59 unfolding Array.length_def subarray_def
60 by (simp add: nth_sublist')
62 lemma subarray_eq_samelength_iff: "Array.length a h = Array.length a h' \<Longrightarrow> (subarray i j a h = subarray i j a h') = (\<forall>i'. i \<le> i' \<and> i' < j \<longrightarrow> get_array a h ! i' = get_array a h' ! i')"
63 unfolding Array.length_def subarray_def by (rule sublist'_eq_samelength_iff)
65 lemma all_in_set_subarray_conv: "(\<forall>j. j \<in> set (subarray l r a h) \<longrightarrow> P j) = (\<forall>k. l \<le> k \<and> k < r \<and> k < Array.length a h \<longrightarrow> P (get_array a h ! k))"
66 unfolding subarray_def Array.length_def by (rule all_in_set_sublist'_conv)
68 lemma ball_in_set_subarray_conv: "(\<forall>j \<in> set (subarray l r a h). P j) = (\<forall>k. l \<le> k \<and> k < r \<and> k < Array.length a h \<longrightarrow> P (get_array a h ! k))"
69 unfolding subarray_def Array.length_def by (rule ball_in_set_sublist'_conv)